Нападающий Данила Квартальнов стал игроком нижнекамского «Нефтехимика». Клуб подписал с 20-летним форвардом двусторонний контракт, рассчитанный на один сезон.
В завершившемся сезоне 2023/2024 Данила Квартальнов выступал в Всероссийской хоккейной лиге (ВХЛ) за команды «Юнисон-Москва» и «Динамо» из Санкт-Петербурга. Всего в ВХЛ он провёл 70 матчей, в которых набрал 28 результативных баллов (11 голов и 17 результативных передач).
За свою карьеру в Континентальной хоккейной лиге (КХЛ) Квартальнов сыграл 196 матчей и заработал 33 очка (9 шайб и 24 ассиста). В 2024 году, выступая за магнитогорский «Металлург», Данила Квартальнов стал обладателем Кубка Гагарина.